Question

2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}$，则a_n=（　　）

• A． $\frac{1}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{2}•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
• C． $2•{（\frac{1}{3}）^n}-\frac{1}{3}$
• D． ${（\frac{1}{3}）^n}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式求出首项，进一步得到${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$（n≥2）．可得数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}$，取n=1，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}$，即${a}_{1}=\frac{1}{3}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n}-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，
即${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$（n≥2）．
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}=\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=（\frac{1}{3}）^{n}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．