Question

已知两函数f（x）=x²+2x，g（x）=-x²+a，当a=

 

时，f（x），g（x）的图象有且只有一条公切线，该公切线的方程为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：导数的概念及应用

分析：根据已知条件知f（x），g（x）的图象只有一个公共点，所以方程x²+2x=-x²+a只有一个解，这样便可求得a=-

1

2

，并求得公共点为（-

1

2

，-

3

4

）．而该点便是切点，所以通过求f′（x）便能得到该切线的斜率，由点斜式方程即可写出公切线的方程．

解答： 解：要使f（x）与g（x）的图象只有一条公切线，则需使f（x），g（x）图象有一个公共点；
∴由f（x）=g（x）得，x²+2x=-x²+a，整理成：
2x²+2x-a=0，①，该方程只有一个解；
∴△=4+8a=0，∴a=-

1

2

，带入方程①得2x2+2x+

1

2

=0；
解得，x=-

1

2

，f(-

1

2

)=-

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4

；
∴切点为(-

1

2

，-

3

4

)，f′（x）=2x+2，f′(-

1

2

)=1；
即切线的斜率为1；
∴切线方程为y+

3

4

=x+

1

2

；
即y=x-

1

2

．
故答案为：-

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2

，y=x-

1

2

．

点评：考查曲线的公共点和曲线方程形成方程组解的关系，一元二次方程解的情况和判别式△的关系，函数在切点处的导数值与切线斜率的关系，以及直线的点斜式方程．