Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，

Sn

an

=n²，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求a_n；
（2）若数列{c_n}满足：c₁=1，c1+4c₂+18c₃…+n²（n-1）c_n=

1

an

（n≥2），试比较c₁+c₂+…+c_n与2Sn的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“累乘求积”方法即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答： 解：（1）

Sn

an

=n2⇒Sn=n2an，
⇒Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，
⇒

an

an-1

=

(n-1)2

n2-1

=

n-1

n+1

，
⇒an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

2

n(n+1)

．
(2)c1=

1

a1

=1，n2(n-1)cn=

1

an

-

1

an-1

=n，
∴cn=

n

n2(n-1)

=

1

n(n-1)

(n≥2)，
∴c1+c2+c3+…+cn=1+

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=2-

1

n

＜2，
∵2Sn=2

2n

n+1

=22-

2

n+1

≥21，
∴2Sn＞c1+c2+c3+…+cn．

点评：本题考查了“累乘求积”方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．