Question

如图，椭圆C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的离心率

2

2

，其两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足

PF1

•

PF2

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求P点坐标；
（3）当直线PB的斜率为

2

2

时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的离心率

2

2

，可得a²=4，可得椭圆C的方程；
（2）设出P的坐标，则可分别表示出

PF1

和

PF2

，进而利用

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的关系，同时根据椭圆的方程，求得x₀和y₀即P的坐标．
（3）当直线PB的斜率为

2

2

时，直线PA的斜率为-

2

2

，设出直线的方程联立椭圆方程，可求出A点，B点的坐标，进而由两点式可得直线AB的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

2

=1（a＞

2

）的离心率

2

2

，
∴e²=

c2

a2

=

a2-2

a2

=

1

2

，
解得：a²=4，
∴椭圆C的标准方程为：

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）由（1）得：c=

2

，则F₁（0，

2

），F₂（0，-

2

），设P（x₀，y₀）
则

PF1

=（-x₀，

2

-y₀），

PF2

=（-x₀，-

2

-y₀），
由

PF1

•

PF2

=1得：x₀²-2+y₀²=1?x₀²+y₀²=3
又2x₀²+y₀²=4，x₀，y₀＞0，
∴

x0=1 y0= 2

，即所求P（1，

2

）
（3）当直线PB的斜率为

2

2

时，直线PA的斜率为-

2

2

，
直线PB的方程为：y-

2

=

2

2

（x-1），即y=

2

2

x+

2

2

，
代入椭圆C的标准方程为：

y2

4

+

x2

2

=1得：5x²+2x-7=0，
由韦达定理得：B点横坐标为：-

7

5

，代入y=

2

2

x+

2

2

得：B点纵坐标为：-

2

5

，
即B点的坐标为：（-

7

5

，-

2

5

），
同理可得A点的坐标为：（

1

5

，

2 2

5

），
则直线AB的两点式方程为

x+ 7 5

1 5 + 7 5

=

y+ 2 5

2 2 5 + 2 5

，
即：15x-20

2

y+13=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．