Question

17．求适合下列条件的双曲线的标准方程及其离心率．
（1）焦点在x轴上，c=6，且过点A（-5，2）；
（2）a=12，b=5；
（3）经过两点A（-7，-6$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{7}$，-3）．

Answer 1

分析 （1）设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出双曲线的标准方程及其离心率．
（2）分类讨论，即可求出双曲线的标准方程及其离心率；
（3）利用待定系数法，可得结论．

解答 解：（1）由题意，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=20，b²=16，
∴所求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（2）焦点在x轴上，双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{144}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$，e=$\frac{13}{12}$；
焦点在y轴上，双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{144}-\frac{{x}^{2}}{25}=1$，e=$\frac{13}{12}$；
（3）设双曲线的方程为nx²-my²=1，m＞0，n＞0，
把两点A（-7，-6$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{7}$，-3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{49n-72m=1}\\{7n-9m=1}\end{array}\right.$，
解得n=1，m=$\frac{2}{3}$，
∴所求的双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质、待定系数法的合理运用．