Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n，且数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1-（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$b_n，求数列{c_n}的前2n项和T_2n；
（3）求数列{a_n•b_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+2=2a_n，当n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1，可得a_n=2a_n-1．当n=1时，a₁+2=2a₁，解得a₁．利用等比数列的通项公式可得a_n．利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）由c_n=$\frac{1-（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$b_n，当n=2k（k∈N^*）时，c_n=b_2k=2n-1；当n=2k-1（k∈N^*）时，c_n=a_2k=2ⁿ．可得数列{c_n}的前2n项和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）．
（3）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+2=2a_n，∴当n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1，可得a_n=2a_n-2a_n-1，化为a_n=2a_n-1．
当n=1时，a₁+2=2a₁，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比为2，
∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由c_n=$\frac{1-（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$b_n，当n=2k（k∈N^*）时，c_n=c_2k=b_2k=2n-1；
当n=2k-1（k∈N^*）时，c_n=a_2k=2ⁿ．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=（2¹+2³+…+2^2n-1）+[（2×2-1）+（2×4-1）+…+（4n-1）]
=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$$\frac{n（3+4n-1）}{2}$
=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$+2n²+n．
（3）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．
数列{a_n•b_n}的前n项和R_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
2R_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-R_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴R_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．