Question

9．一个球内切于一个圆锥，且圆锥的高等于球的直径的两倍，试证明圆锥的全面积等于球表面积的两倍．

Answer 1

分析 设球的半径为r，圆锥底面的半径为R，画出圆锥的轴截面，结合勾股定理，分析R，r之间的关系，进而可得答案．

解答 证明：设球的半径为r，圆锥底面的半径为R，
画出圆锥的轴截面如下图所示：

则BC=CD=R，OD=OB=OE=r，AB=4r，故OA=3r，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²，
即（2$\sqrt{2}$r+R）²=R²+16r²，
即R=$\sqrt{2}$r，
故圆锥的全面积为πR（2R+2$\sqrt{2}$r）=8πr²，
球面积为：4πr²，
即圆锥的全面积等于球表面积的两倍．

点评 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥和球的几何特征，是解答的关键．