题目内容
18．过双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$的右焦点F作直线l交双曲线于A?B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（ ）| A． | 1条 | B． | 2条 | C． | 3条 | D． | 4条 |
分析 双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段．
解答 解：由双曲线方程得a=1，c=$\sqrt{5}$，
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=2＜4，
∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，
当直线与实轴垂直时，
当x=c=$\sqrt{5}$时，得5-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，即y2=16，则y=±4，
此时直线AB的长度是8＞4，此时不存在直线|AB|=4．
综上可知有2条直线满足|AB|=4，
故选：B．
点评 本题考查直线与双曲线之间的关系问题，本题解题的关键是看清楚当直线的斜率不存在，即直线与实轴垂直时，要验证线段的长度．
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9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D． | 2 |
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA1=BC．
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．
3．如果双曲线经过点P（2，$\sqrt{2}$），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ ）
| A． | x2-$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1 | D． | $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1 |
10．已知抛物线E：x2=8y的焦点F到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐进线的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，且抛物线E上的动点M到双曲线C的右焦点F1（c，0）的距离与直线y=-2的距离之和的最小值为3，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 |
7．设点A，F（c，0）分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点，直线x=$\frac{a^2}{c}$交该双曲线的一条渐近线于点P，若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 3 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |