Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA₁=BC．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求三棱锥B₁-ADC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C交AC₁于E，连结DE，则E为A₁C的中点，根据中位线定理得出DE∥A₁B，于是A₁B∥平面ADC₁．
（2）由平面ABC⊥平面BCC₁B₁可知△ABC的边BC上的高即为棱锥A-B₁C₁D的高，利用勾股定理和面积法求出BC和BC边上的高，代入体积公式计算即可．

解答 （1）证明：连结A₁C交AC₁于E，连结DE，则E为A₁C的中点
∵D是BC的中点，
∴A₁B∥DE，又A₁B?平面ADC₁，DE?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）解：∵AB⊥AC，AB=3，AC=4，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=5$．
∴△ABC斜边BC上的高h=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$．
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴A到平面BCC₁B₁的距离为h=$\frac{12}{5}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-AD{C}_{1}}$=V${{\;}_{A-{B}_{1}DC}}_{1}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×5×\frac{12}{5}$=10．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．