Question

若f(x)=

1

3

x3-4x+2与直线y=k有且只有一个交点，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．

解答： 解：令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点，
因为g′（x）=f′（x）=x²-4
所以令g′（x）=0，解得x=2或x=-2，
所以情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

g（x）有且仅有一个零点等价于g（-2）＜0或g（2）＞0，
所以-

8

3

+8+2-k＜0或

8

3

-8+2-k＞0，解得k＞

22

3

或k＜-

10

3

．
故答案为：k＞

22

3

或k＜-

10

3

．

点评：本小题主要考查导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．