Question

16．已知函数f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx（e为自然对数的底数），m∈R．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数g（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），若在[1，e]上至少存在一个实数x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=0时，f（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx，f′（x）=$\frac{（2e-1）-x}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）的增区间是（0，2e-1），减区间是（2e-1，+∞），当x=2e-1时，f（x）取得极大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx-$\frac{m}{x}$≤0，-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②当m＞0时，F′（x）=m+$\frac{m+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x） max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4，
只要me-$\frac{m}{e}$-4＞0，解得m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故m的取值范围是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．