Question

10．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S_△ABC=2$\sqrt{3}$，a+b=6，且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，则c=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，由C的范围特殊角的三角函数值求出C，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出c的值．

解答 解：由$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC得，acosB+bcosA=2ccosC，
在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$，
由S_△ABC=2$\sqrt{3}$得，$\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$，得ab=8，
∵a+b=6，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-2abcosC=36-16-8=12，
解得c=$2\sqrt{3}$，
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键．