题目内容

5．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于$\frac{4}{5}$．

分析 写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．

解答 解：F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为：y=x-$\frac{p}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得：x2-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3p}{2}$，y0=x0-$\frac{p}{2}$=p．
∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$=-1，即$\frac{p-2}{\frac{3p}{2}}$=-1．
解得p=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．

练习册系列答案
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A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜a＜c
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10．已知抛物线x2=-2py（p＞0）经过点（2，-2），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A．$（0，-\frac{1}{8}）$B．$（-\frac{1}{8}，0）$C．$（0，-\frac{1}{2}）$D．$（-\frac{1}{2}，0）$
17．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若$tan∠AMB=2\sqrt{2}$，则|AB|=（　　）
A．4B．8C．$3\sqrt{2}$D．10
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（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，P（2，1）为定点，当△MNP的面积最大时，求l的方程．
15．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+2（ω＞0）的图形向右平移$\frac{π}{3}$个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）
A．6B．3C．$\frac{8}{3}$D．$\frac{4}{3}$

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