Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2m•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （I）计算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²，得到（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²关于x的函数，根据x的范围和余弦函数的性质得出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²的范围；
（II）整理得出f（x）的解析式，讨论m的范围根据f（x）的最小值列出方程解出m．

解答 解：（I）（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+2（cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$）=2+2cos2x．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[-π，π]．
∴0≤2+2cos2x≤4．
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤2．
（II）f（x）=cos2x-2m$\sqrt{2+2cos2x}$=cos2x-4m|cosx|=2cos²x-4mcosx-1=2（cosx-m）²-2m²-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴0≤cosx≤1．
（1）若0≤m≤1，则当cosx=m时，f（x）取得最小值-2m²-1=-2，解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
（2）若m＞1，则当cosx=1时，f（x）取得最小值2（1-m）²-2m²-1=-2，解得m=$\frac{3}{4}$（舍）．
（3）若m＜0，则当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，不符合题意．
综上，m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．