Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₃，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

an+1 n为奇数 3×2an-1 n为偶数

，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由已知条件得T2n=(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n-1)=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ），由此利用分组求和法能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，
a₁=2且a₃，a₅，a₈成等比数列．
∴

a

2 5

=a3a8，
∴（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），
解得d=1（d=0舍去）．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

an+1 n为奇数 3×2an-1 n为偶数

，
∴T2n=(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n-1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=

(2n+4)n

2

+3×

4(1-4n)

1-4

=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．