Question

（1）把下列的极坐标方程化为直角坐标方程（并说明对应的曲线）：
①ρ=-4cosθ+2sinθ           
②ρcos（θ-

π

4

）=

2

（2）把下列的参数方程化为普通方程（并说明对应的曲线）：
③

x=4tanφ y=3secφ

（θ为参数）        
④

x=sinθ y=cos2θ-7

（θ为参数）

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，进而可得曲线的形状．
（2）根据平方关系消去参数θ可得普通方程，进而可得曲线的形状．

解答： 解：（1）①ρ=-4cosθ+2sinθ可化为：
ρ²=-4ρcosθ+2ρsinθ，
即：x²+y²=-4x+2y，
即：（x+2）²+（y-1）²=5…（2分）
表示的曲线为圆．  …（3分）
②ρcos（θ-

π

4

）=

2

可化为：

2

2

（ρcosθ+ρsinθ）=

2

，
即ρcosθ+ρsinθ=2，
即x+y=2              …（5分）
表示的曲线为直线     …（6分）
（2）③∵

x=4tanφ y=3secφ

（θ为参数）
∴

x 4 =tanφ，① y 3 =secφ，②

②²-①²得：

y2

9

-

x2

16

=1   …（8分）
表示的曲线为双曲线     …（9分）
④∵

x=sinθ，① y=cos2θ-7，②

①²+②得：x²+y=-6，（-1≤x≤1），
即y=-x²-6，（-1≤x≤1），…（11分）
表示的曲线为抛物线的一部分．…（12分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．