Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）为奇函数，函数g（x）=m•2^x-m．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在x∈（0，+∞）的单调性并用定义证明；
（3）若在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，试确定实数m的范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（-x）=

1

2-x-1

+a=-（

1

2x-1

+a）；从而解a；从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先判断，后用复合函数的单调性证明；
（3）在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方可化为

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

＜0在区间（-∞，0）上恒成立；从而化为最值问题．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2x-1

+a为奇函数，
∴f（-x）=

1

2-x-1

+a=-（

1

2x-1

+a）；
则2a=-

1

2x-1

-

1

2-x-1

=1；
故a=

1

2

；
则f（x）=

1

2x-1

+

1

2

；
（2）f（x）在x∈（0，+∞）上是减函数，证明如下，
∵y=2^x-1在（0，+∞）上是增函数，且y＞0；
又∵y=

1

x

在（0，+∞）上是减函数，
故f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（0，+∞）上是减函数．
（3）f（x）-g（x）=

1

2x-1

+

1

2

-m（2^x-1）
=

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

，
∵在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，
∴

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

＜0在区间（-∞，0）上恒成立；
∵2^x-1＜0，
故2^x-2m（2^x-1）²＞0；
故m＜

2x

2(2x-1)2

；
令F（x）=

2x

2(2x-1)2

=

1

2(2x+ 1 2x )-4

，
∵x∈（-∞，0），
∴2^x∈（0，1）；
∴

1

2(2x+ 1 2x )-4

＞0；
故m≤0．

点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题，属于中档题．