Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对于任意m，n∈（0，+∞）都有：f（m?n）=f（m）+f（n）成立，
且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求证：1是函数f（x）的零点；
（2）证明：f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）当f（2）=

1

2

时，求不等式f（x²-3x）＞1的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令m=n=1代入f（m?n）=f（m）+f（n）即可解得；
（2）先证明f（

m

n

）=f（m）-f（n）；从而可证明f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）f（4）=f（2）+f（2）=1，从而化不等式f（x²-3x）＞1为f（x²-3x）＞f（4）；利用单调性求解．

解答： 解：（1）证明：令m=n=1；
则f（1）=f（1）+f（1）；
则f（1）=0；
故1是函数f（x）的零点；
（2）证明：令m•n=1；
则f（1）=f（m）+f（

1

m

）=0；
故f（

1

m

）=-f（m）；
∴f（

m

n

）=f（m）-f（n）；
设0＜x₁＜x₂；则

x2

x1

＞1；
故f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0；
故f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）∵f（2）=

1

2

，∴f（4）=f（2）+f（2）=1；
∴不等式f（x²-3x）＞1可化为f（x²-3x）＞f（4）；
故0＜x²-3x＜4；
故-1＜x＜0或3＜x＜4；
故所求不等式f（x²-3x）＞1的解集为（-1，0）∪（3，4）．

点评：本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题．