Question

已知函数f（x）=|x+

1

x

|，定义在R上的函数g（x）=log₂（x²-4x+m），若?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得f（x）_min＞g（x₂），由f（x）=|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，得f（x）_min=2，由g（x）=log₂（x²-4x+m）=log₂[（x-2）²+m-4]≥log₂（m-4），得log₂（m-4）＜2=log₂4，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x）_min＞g（x₂），
∵f（x）=|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，
∴当且仅当|x|=

1

|x|

时，即x=±1时，f（x）_min=2，
∵g（x）=log₂（x²-4x+m）=log₂[（x-2）²+m-4]≥log₂（m-4），
∴log₂（m-4）＜2=log₂4，
∴

m-4＞0 m-4＜4

，
解得4＜m＜8．
∴实数m的取值范围是（4，8）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．