Question

6．已知函数f（x）=xe^x-m有2个零点都大于-2，则实数m的取值范围是（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，根据零点个数及零点的范围和单调性得出f（-2）＞0，从而得出m的范围．

解答 解：解：∵f（x）=x•e^x-m，
∴f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
∴当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，+∞）上是增函数，
∴当x=-1时，f（x）取得最小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$-m，
且当x→-∞时，f（x）→-m，x→+∞时，f（x）→+∞，
∵f（x）有两个零点，∴f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上各有1个零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m＞0}\\{-\frac{1}{e}-m＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{e}$＜m＜0，
∵f（x）的零点都大于-2，
∴f（-2）＞0，即$\frac{-2}{{e}^{2}}$-m＞0，解得m＜-$\frac{2}{{e}^{2}}$．
故答案为（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）．

点评 本题考查了函数单调性、极值与函数零点的关系，属于中档题．