Question

19．若lnx＜x²+$\frac{a}{x}$在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用参数分离做此题比较简单，把a和含x的式子放在不等号的两边，最含x的式子，利用导数求其最值，即可得a的范围．

解答 解：∵lnx＜x²+$\frac{a}{x}$，
∴a＞xlnx-x³，令h（x）=xlnx-x³，只要求得h（x）的最大值即可，
h′（x）=lnx+1-3x²，h″（x）=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$，∵x＞1，∴1-6x²＜0，
∴h″（x）＜0，∴h′（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h′_max（x）=h′（1）=-2＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）小于0，
∴h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h_max（x）=h（1）=-1＜0，∴a＞-1
又∵x≠1，∴a可以等于-1，
∴a≥-1．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 此题主要考查了参数分离思想，这也是高考爱考的热点问题，解此题时要注意函数的二次求导问题，此题是一道好题．