Question

7．求函数y=1-2cos²x+5sinx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系和换元法，令t=sinx（-1≤t≤1），则y=2t²+5t-1，运用二次函数的值域求法，即可得到最值．

解答 解：函数y=1-2cos²x+5sinx
=1-2（1-sin²x）+5sinx
=2sin²x+5sinx-1
令t=sinx（-1≤t≤1），
则y=2t²+5t-1
=2（t+$\frac{5}{4}$）²-$\frac{33}{8}$，
对称轴为t=-$\frac{5}{4}$，
即有区间[-1，1]为增区间，
当t=-1，即x=2k$π-\frac{π}{2}$，k∈Z时，
y取得最小值，且为-4；
当t=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，
y取得最大值，且为6．

点评 本题考查三角函数的最值，主要考查正弦函数的值域，同时考查换元法和二次函数的值域求法，属于中档题．