Question

已知圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，设点p（x，y）是圆O₁上的动点．
①求P点到直线l：x+y-1=0距离的最值，并求对应P点坐标；
②分别求

y

x

，y-x，（x+3）²+（y+4）²的最值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：①求出圆心到直线l：x+y-1=0距离，即可求P点到直线l：x+y-1=0距离的最值，从而求对应P点坐标；
②利用

y

x

=t，y-x=k，与圆方程联立，可得最值，求出（-3，-4）与（3，1）的距离为

36+25

=

61

，即可求出（x+3）²+（y+4）²的最值．

解答： 解：①圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1的圆心为（3，1），半径为1，
圆心到直线l：x+y-1=0距离为

3 2

2

，
∴P点到直线l：x+y-1=0距离的最大值为

3 2

2

+1，最小值为

3 2

2

-1，
过（3，1）与直线l：x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-2=0，与圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1联立，
可得对应的P点坐标分别为(3+

2

2

，1+

2

2

)，(3-

2

2

，1-

2

2

)．
②设

y

x

=t，则y=tx，代入圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，
可得（x-3）²+（tx-1）²=1，
∴（1+t²）x²-（6+2t）x+9=0，
∴△=（6+2t）²-36（1+t²）=0，
∴t=0或t=

3

4

，
∴

y

x

的最大值为

3

4

，

y

x

最小值为0；
设y-x=k，则代入圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，
可得（x-3）²+（x+k-1）²=1，
∴2x²-（8-2k）x²+k²-2k+9=0，
∴△=（8-2k）²-8（k²-2k+9）≥0，
∴-2-

2

≤k≤-2+

2

，
∴y-x的最大值为-2+

2

，y-x最小值为-2-

2

；
（-3，-4）与（3，1）的距离为

36+25

=

61

，
∴（x+3）²+（y+4）²的最大值为（

61

+1）²=62+2

61

；（x+3）²+（y+4）²的最小值为（

61

-1）²=62-2

61

．

点评：本题考查圆方程的综合应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．