Question

14．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，且acosB+bcosA=csinC，则B等于（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 进行数量积的坐标运算，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$得出$\sqrt{3}cosA=sinA$，从而求出$tanA=\sqrt{3}$，进而得出A=60°，由正弦定理及acosB+bcosA=csinC即可得到sin（A+B）=sin²C，进而得到sinC=sin²C，从而可求出C的值，这样即可得出B的值．

解答 解：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}cosA-sinA=0$；
∴$\sqrt{3}cosA=sinA$；
∴$tanA=\sqrt{3}$；
∵0＜A＜180°；
∴A=60°；
根据正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入acosB+bcosA=csinC得：
2RsinAcosB+2RcosAsinB=2Rsin²C；
∴sinAcosB+cosBsinA=sin²C；
∴sin（A+B）=sin²C；
∴sinC=sin²C；
∴sinC=1，或sinC=0；
∵0°＜C＜180°；
∴C=90°；
∴B=30°．
故选A．

点评 考查数量积的坐标运算，弦化切公式，正弦定理，以及两角和的正弦公式．