Question

2．设函数f（x）=$\sqrt{{x^2}+1$-ax．（a＞0）
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在[0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1{≤（1+ax）}^{2}}\\{x≥0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{（a}^{2}-1）x+2a≥0}\end{array}\right.$，由此分类讨论a的范围，求得x的范围．
（2）设得x₁＜x₂，计算f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a），由此分类讨论a的范围，判断函数的单调性．

解答 解：（1）不等式f（x≤1），即$\sqrt{{x^2}+1$≤1+ax，
由此得：1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0，
∴原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1{≤（1+ax）}^{2}}\\{x≥0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{（a}^{2}-1）x+2a≥0}\end{array}\right.$．
∴当0＜a＜1时，所给不等式解集为{x|0≤x≤$\frac{2a}{1{-a}^{2}}$}，
当a≥1时，所给不等式解集为{x|x≥0}．
（2）在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$-a（x₁-x₂）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a（x₁-x₂）=（x₁-x₂）•（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a），
（ⅰ）当a≥1时，∵$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$＜1，∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a＜0，
又x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．
（ⅱ）当0＜a＜1时，在[0，+∞）上存在两点 x₁=0，x₂ =$\frac{2a}{1{-a}^{2}}$，满足f（x₁）=1，f（x₂）=1，
即f（x₁）=f（x₂），∴函数f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，其它不等式的解法，属于中档题．