Question

幂指函数y=f（x）^g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y=g（x）ln f（x），两边求导数得

y′

y

=g′（x）ln f（x）+g（x）

f′(x)

f(x)

，于是y′=f（x）^g（x）•[g′（x）lnf（x）+g（x）

f′(x)

f(x)

]．运用此法可以探求得知y=x

1

x

的一个单调递增区间为（　　）

• A、（0，2）
• B、（2，3）
• C、（e，4）
• D、（3，8）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：仔细分析题意，找出f（x），φ（x），然后依据题意求函数的导数，判断导数的单调性，求出单调增区间即可．

解答： 解：仿照题目给定的方法，f（x）=x，φ（x）=

1

x

，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-

1

x2

，
由于y′=f（x）φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）

f′(x)

f(x)

]，
所以y′=x

1

x

（-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

）=x

1

x

•

1-lnx

x2

，
∵x＞0，∴x

1

x

＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=x

1

x

 的一个单调递增区间为：（0，e），
故选：A．

点评：本题考查对数的运算性质，导数的运算，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．