题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．（Ⅰ）设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长等于2，求三棱锥C-BED1的体积；
（Ⅱ）求证：平面EB1D⊥平面B1CD．
考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由题意得点B1到平面CDE的距离等于2，△CDE的面积等于2，由此利用等积法能求出三棱锥C-BED1的体积．
（Ⅱ）设B1D的中点为M，连结ME，MC，由已知条件推导出CD⊥CB1，ME⊥MC，从而得到ME⊥平面B1CD，由此能证明平面EB1D⊥平面B1CD．
（Ⅱ）设B1D的中点为M，连结ME，MC，由已知条件推导出CD⊥CB1，ME⊥MC，从而得到ME⊥平面B1CD，由此能证明平面EB1D⊥平面B1CD．
解答：
（Ⅰ）解：由题意得点B1到平面CDE的距离等于2，△CDE的面积等于2，
∴三棱锥B1-CDE的体积等于
，
∵VC-B1DE=VB1-CDE，
∴VC-B1DE=
，
∴三棱锥C-BED1的体积为
．
（Ⅱ）证明：设B1D的中点为M，连结ME，MC，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，则ED=
a，B1E=
a，
∴ED=B1E，∴ME⊥B1D，
ME=
=
=
a，
由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得CD⊥平面BCC1B1，
CB1?平面BCC1B1，∴CD⊥CB1，
∴MC=
B1D=
a，
∵ME2+MC2=5a2=EC2，∴ME⊥MC，
又∵B1D?平面B1CD，MC?平面B1CD，B1D∩MC=M，
∴ME⊥平面B1CD．
∵ME?平面EB1D，
∴平面EB1D⊥平面B1CD．
∴三棱锥B1-CDE的体积等于
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| 3 |
∵VC-B1DE=VB1-CDE，
∴VC-B1DE=
| 4 |
| 3 |
∴三棱锥C-BED1的体积为
| 4 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：设B1D的中点为M，连结ME，MC，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，则ED=
| 5 |
| 5 |
∴ED=B1E，∴ME⊥B1D，
ME=
DE2-
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5a2-
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由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得CD⊥平面BCC1B1，
CB1?平面BCC1B1，∴CD⊥CB1，
∴MC=
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∵ME2+MC2=5a2=EC2，∴ME⊥MC，
又∵B1D?平面B1CD，MC?平面B1CD，B1D∩MC=M，
∴ME⊥平面B1CD．
∵ME?平面EB1D，
∴平面EB1D⊥平面B1CD．
点评：本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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