Question

已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．求证：函数F（x）=f（x）-1为奇函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意令a=b=0，代入f（a+b）=f（a）+f（b）-1，求出f（0）的值，令a=x，b=-x，求得f（-x）=-f（x）+2，再根据奇函数的定义判断即可．

解答： 证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
令a=b=0，
则f（0+0）=f（0）+f（0）-1，
∴f（0）=1，
令a=x，b=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=-f（x）+2，
∵F（x）=f（x）-1
∴F（-x）=f（-x）-1=-f（x）-1=-f（x）+2=-f（x）+1=-[f（x）-1]=-F（x），
∴函数F（x）=f（x）-1为奇函数．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性的证明以及求值，主要利用赋值法，即根据结论给变量适当的值，代入恒成立的方程化简即可．