题目内容
【题目】已知椭圆
的长轴长是焦距的2倍，且过点
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设
为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点
满足
．
①证明：
为定值；
②设Q是直线
上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）①见解析②3
【解析】
（1）由题意可得
又过一点，及
，
，
之间的关系求出，，进而求出椭圆的方程；
（2）①由（1）可得右焦点
，
，
的坐标，求出向量
的模，及向量
的模可证得
为定值；
②由题意方程可得
为右准线，设
的坐标，求出直线
，
的直线与椭圆联立求出
，
的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得
用，的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.
解：（1）由题意可得，
，
，
解得：
，
，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得
，
，
，
①因为
为椭圆C上的动点，
点
满足
，所以；
所以
，
所以：
，
所以可证为定值2．
②由题意设
，所以
，
所以直线的方程为：
，
联立直线与椭圆的方程：
整理可得：
，
所以
，所以
，
同理
，所以直线的方程：
，
整理可得：
，
所以
，所以
，
因为为右准线，
所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率
，
可得：
，
当且仅当
，即
时取等号．
所以的最小值为3．
【题目】疫情期间，为了更好地了解学生线上学习的情况，某兴趣小组在网上随机抽取了100名学生对其线上学习满意情况进行调查，其中男女比例为2∶3，其中男生有24人满意，女生有12人不满意.
（1）完成
列联表，并回答是否有95%把握认为“线上学习是否满意与性别有关”
满意 | 不满意 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
（2）从对线上学习满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在6名学生中抽取3名，记抽到的女生人数为
，求的分布列和数学期望.
参考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| .072 | 2.706 | 3.842 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
