题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥PB.
(2)若PB=,AB=PA=2,求三棱锥P-BCD的体积。
【答案】(1)证明见解析;(2)1
【解析】
(1)取AD的中点O, 连接P0,BO,BD,利用三线合一得出BO⊥AD,PO⊥AD,故AD⊥平面PBO,,于是AD⊥PB。(2)利用勾股定理得出PO⊥BO,可得PO⊥平面ABCD,用棱锥的体积公式计算即可
(1)证明:取AD的中点O,连接P0,BO,BD,
∵底面ABCD是等边三角形
∴BO⊥AD,
又∵PA=PD,即ΔPAD等腰三角形,
∴PO⊥AD,
又∵POBO=0.
∴AD⊥平面PBO,
又∵PB平面PBO.
∴AD⊥PB;
(2)解:AB=PA=2
∴由(1)知ΔPAD是边长为2的正三角形,则PO=.
又∵PB=,
∴PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO,
又由(1)知,PO⊥AD.且BOAD=O.
∴PO⊥平面ABCD.
∴
∴三棱锥P-BCD的体积为1.
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