题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)证明:当时,方程
在区间
上只有一个解;
(Ⅱ)设,其中
.若
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】
(1)设,
,求出
,判断函数
在区间
上单调递增,由
,
,利用零点存在性定理即可证出.
(2)设,
,求出
,由(1)不妨
的零点为
,从而可判断
在区间
上单调情况,进而可得出函数
的最小值为
,由
,得
,代入
可得
,由
即可求解.
(Ⅰ)设,
.
,当
时,
,
因此函数在区间
上单调递增.
且,
.
所以在区间
上只有一个零点,
方程在区间
上只有一个解.
(Ⅱ)设,
,
定义域为
,
,
令,则
,
由(Ⅰ)知,在区间
上单调递增,且只有一个零点,
不妨设的零点为
,则
,
所以,与
在区间
上的情况如下:
- | 0 | + | |
所以,函数的最小值为
,
,
由,得
,所以
.
依题意,即
,解得
.所以,
的取值范围为
.
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