Question

若a，b，c∈R₊，且满足a+b+c=2．
（Ⅰ）求abc的最大值；
（Ⅱ）证明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

2

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用基本不等式，可求abc的最大值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．

解答： （Ⅰ）解：因为a，b，c∈R₊，所以2=a+b+c≥3

3	abc

，故abc≤

8

27

．…．（3分）
当且仅当a=b=c=

2

3

时等号成立，所以abc的最大值为

8

27

．…．（4分）
（Ⅱ）证明：因为a，b，c∈R₊，且a+b+c=2，所以根据柯西不等式，
可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）  …．（5分）
=

1

2

[(

a

)2+(

b

)2+(

c

)2][(

1 a

)2+(

1 b

)2+(

1 c

)2]≥

1

2

（

a

×

1 a

+

b

×

1 b

+

c

×

1 c

）²=

9

2

．
所以

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

2

．…．（7分）

点评：本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想．