Question

定义函数f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，2ⁿ]（n∈N^*）内的所有零点的和为（　　）

• A、n
• B、2n
• C、

  3

  4

  （2ⁿ-1）
• D、

  3

  2

  （2ⁿ-1）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．

解答： 解：当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8，
所以g(x)=8(x-

1

2

)2-8，此时当x=

3

2

时，g（x）_max=0；
当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）_max=0．
下面考虑2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，由函数f（x）的定义知f(x)=

1

2

f(

x

2

)=…=

1

2n-1

f(

x

2n-1

)，
因为1≤

x

2n-1

≤

3

2

，
所以g(x)=

1

22n-5

(x-2n-2)2-8，
此时当x=3•2^n-2时，g（x）_max=0；
当3•2^n-2≤x≤2ⁿ时，同理可知，g(x)=-

1

22n-5

(x-2n-1)2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）_max=0．
综上可得：对于一切的n∈N^*，函数g（x）在区间[2^n-1，2ⁿ]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2ⁿ]上有n个零点，且这些零点为xn=3•2n-2，因此，所有这些零点的和为

3

2

(2n-1)．
故选：D

点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．