Question

10．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}$+$\frac{1}{2}$（1-a²）x²-ax，其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x+y-2=0，求a的值；
（2）当a≠0时，求函数f（x）（x＞0）的单调区间与极值；
（3）若a=1，存在实数m，使得方程f（x）=m恰好有三个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由f'（1）=-8，求得a的值，分别求得切线方程，与原切线方程比较，即可求得a的值；
（2）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得函数f（x）（x＞0）的单调区间与极值；
（3）由（2）可知：根据函数的单调性，求得f（x）的极值，分别作出函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$与y=m的图象，从图象上可以看出当$-\frac{2}{3}＜m＜\frac{2}{3}$时，两个函数的图象有三个不同的交点，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）f'（x）=ax²+（1-a²）x-a，由8x+y-2=0可得f'（1）=-8，
即f'（1）=a+（1-a²）-a=-8，解得a=±3，
当a=3时，f（x）=x³-4x²-3x，f（1）=-6，f'（x）=3x²-8x-3，f'（1）=-8，
当a=-3时，f（x）=-x³-4x²+3，f（1）=-2，f'（x）=-3x²-8x+3，f'（1）=-8，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=-8（x-1），即8x+y-6=0不符合题意，舍去，
故a的值为3．
（2）当a≠0时，f′（x）=ax²+（1-a²）x-a=（x-a）（ax+1）=a（x-a）（x+$\frac{1}{a}$），
当a＞0时，令f'（x）=0，则${x_1}=-\frac{1}{a}，{x_2}=a$
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）的单调递增区间为$（-∞，-\frac{1}{a}），（a，+∞）$，单调递减区间为$（-\frac{1}{a}，a）$．
函数f（x）在${x_1}=-\frac{1}{a}$处取得最大值$f（-\frac{1}{a}）$，且$f（-\frac{1}{a}）=\frac{a}{3}×{（-\frac{1}{a}）^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{（-\frac{1}{a}）^2}+1=\frac{1}{{6{a^2}}}+\frac{1}{2}$．
函数f（x）在x₂=a处取得极小值f（a），且$f（a）=\frac{a}{3}×{a^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{a^2}-a×a=-\frac{1}{6}{a^4}-\frac{1}{2}{a^2}$，
当a＜0时，令f'（x）=0，则${x_1}=a，{x_2}=-\frac{1}{a}$，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∴f（x）的单调递减区间为$（-∞，a），（-\frac{1}{a}，+∞）$，单调递增区间为$（a，-\frac{1}{a}）$，
函数f（x）在${x_1}=-\frac{1}{a}$处取得极大值$f（-\frac{1}{a}）$，
且$f（-\frac{1}{a}）=\frac{a}{3}{（-\frac{1}{a}）^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）•{（-\frac{1}{a}）^2}-a×（-\frac{1}{a}）=\frac{1}{{6{a^2}}}+\frac{1}{2}$．
函数f（x）在x₂=a处取得极小值f（a），且$f（a）=\frac{a}{3}×{a^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{a^2}-a×a=-\frac{1}{6}{a^4}-\frac{1}{2}{a^2}$，
（3）若a=1，则$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x，f'（x）={x^2}-1$，
由（2）可知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$在区间（-∞，-1），（1，+∞）内增函数，在区间（-1，1）内为减函数，
函数f（x）在x₁=1处取的极小值f（1），且$f（1）=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-\frac{2}{3}$．
函数f（x）在x₂=-1处取得极大值f（-1），且$f（{-1}）=\frac{1}{6}\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$．
如图分别作出函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$与y=m的图象，
从图象上可以看出当$-\frac{2}{3}＜m＜\frac{2}{3}$时，两个函数的图象有三个不同的交点，
即方程f（x）=m有三个不同的解，
故实数m的取值范围为$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性区间及最值，考查方程解得个数，考查数形结合思想，考查计算能力，属于难题．