Question

8．某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：

消费金额X（元）	[500，1000）	[1000，1500）	[1500，+∞）
抽奖次数	1	2	4

抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元．求ξ的分布列和E（ξ）的值．

Answer 1

分析 （1）X=2000时，顾客共有4次抽奖机会，顾客获得奖金70元，由两种可能，抽中3红球，1黑球；抽中1红球，3白球，由概率公式即可求得P=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{2}{21}$；
（2）X=1200时，共有2次抽奖机会，ξ的取值为20，30，40，50，60，80，分别求得其概率，求得分布列和数学期望E（ξ）的值．

解答 解：（1）某顾客在该商场当日消费金额为2000元时，
该顾客共有4次抽奖机会，
顾客获得奖金70元，由两种可能，抽中3红球，1黑球；抽中1红球，3白球；
∴改顾客获得70元奖金的概率为P=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{2}{21}$；
（2）X=1200时，共有2次抽奖机会，
ξ的取值为20，30，40，50，60，80，
∴P（ξ=20）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=30）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=40）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=50）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=60）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=80）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
∴ξ的分布列

ξ	20	30	40	50	60	80
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

E（ξ）=20×$\frac{1}{6}$+30×$\frac{1}{3}$+40×$\frac{1}{12}$+50×$\frac{2}{9}$+60×$\frac{1}{6}$+80×$\frac{1}{36}$=40，
∴数学E（ξ）的值40．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．