Question

已知函数f（x）=x²-2（a-1）x+3（a∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于二次函数f（x）=x²-2（a-1）x+3的对称轴为 x=a-1，分a=1时、和a≠1时两种情况，分别讨论函数的奇偶性．
（2）分当a-1＜-1时、当-1≤a-1≤3时、当a-1＞3时三种情况，分别根据二次函数的性质求得函数在区间[-1，3]上的最小值．

解答： 解：（1）由于二次函数f（x）=x²-2（a-1）x+3的对称轴为 x=a-1，故当a=1时，函数的图象关于y轴对称，函数为偶函数；
当a≠1时，函数为非奇非偶函数．
（2）当a-1＜-1时，即a＜0时，函数f（x）在区间[-1，3]上单调递增，故函数在区间[-1，3]上的最小值为f（-1）=2a+2．
当-1≤a-1≤3时，即0≤a≤4时，函数在区间[-1，3]上的最小值为f（a-1）=2+2a-a²．
当a-1＞3时，即a＞4 时，函数f（x）在区间[-1，3]上单调递减，故函数在区间[-1，3]上的最小值为f（3）=18-6a．
综上，当a＜0时，f（x）在区间[-1，3]上的最小值为f（-1）=2a+2； 当0≤a≤4时，函数在区间[-1，3]上的最小值为f（a-1）=2+2a-a²；
当a＞4 时，函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为f（3）=18-6a．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．