Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，x∈R
（1）当a=2，求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=2代入函数解析式，求出导函数，得到f（0）=0及f′（0）=-1，代入直线方程的点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，利用二次导数可得：当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立；当a＞1时，存在x₀∈（0，+∞），使f′（x₀）=0，则f（x）在[0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，可得当x∈[0，x₀）时，f（x）＜f（0）=0，不合题意，综合可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）={e}^{x}-2x-1-\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴f（0）=0，则f′（x）=e^x-2-x，f′（0）=-1，
∴所求切线方程为y=-x；
（2）f′（x）=e^x-x-a，
令h（x）=f′（x）=e^x-x-a，
则h′（x）=e^x-1，当x≥0时，h′（x）≥0，则f′（x）单调递增，f′（x）≥f′（0）=1-a，
当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立；
当a＞1时，存在x₀∈（0，+∞），使f′（x₀）=0，则f（x）在[0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
则当x∈[0，x₀）时，f（x）＜f（0）=0，不合题意，
综上，则实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．