Question

14．已知f'（x）为定义在$（{0，\frac{π}{2}}）$上的函数f（x）的导函数，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，则（　　）

• A． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$
• B． $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＞f（{\frac{π}{4}}）$
• C． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$
• D． $f（1）＜2f（{\frac{π}{6}}）sin1$

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，根据已知可得g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上递增，故g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），代入整理可得答案．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）•sinx-cosx•f（x）}{{sin}^{2}x}$，
∵cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
∴g′（x）＞0在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
所以g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上递增，
所以g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
整理得$\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$，
故选C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生的发散思维能力，本题解答的关键是根据给出的条件cosx•f（x）＜f'（x）•sinx进行联想，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$．