题目内容
19．设区间[q，p]的长度为p-q，其中p＞q．现已知两个区间[4lnm，ln2m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，则ex+1+me-x的最小值为（ ）| A． | 2e3 | B． | $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e3 | C． | $2{e^{\frac{3}{2}}}$ | D． | $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e2 |
分析 两个区间[4lnm，ln2m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，可得ln2m-4lnm=4lnm-10-lnm，解得m=e5．则ex+1+me-x=ex+1+e5-x=f（x）．利用导数研究其单调性即可得出．
解答 解：∵两个区间[4lnm，ln2m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，∴ln2m-4lnm=4lnm-10-lnm，
∴ln2m-7lnm+10=0，
解得lnm=2或lnm=5．
其中lnm=2舍去．
∴m=e5．
则ex+1+me-x=ex+1+e5-x=f（x）．
f′（x）=ex+1-e5-x，令f′（x）=0，解得x=2．
可知：当x=2时，则ex+1+e5e-x=2e3．
故选：A．
点评 本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
10．已知x，y都是正数，且xy=x+y，则4x+y的最小值为（ ）
| A． | 6 | B． | 8 | C． | 9 | D． | 10 |
14．已知f'（x）为定义在$（{0，\frac{π}{2}}）$上的函数f（x）的导函数，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，则（ ）
| A． | $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$ | B． | $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＞f（{\frac{π}{4}}）$ | C． | $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$ | D． | $f（1）＜2f（{\frac{π}{6}}）sin1$ |
4．下列判断错误的是（ ）
| A． | “am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件 | |
| B． | 命题“?x∈R，x2-x-1≤0”的否定是“$?{x_0}∈{R}，{x_0}^2-{x_0}-1＞0$” | |
| C． | 若p，q均为假命题，则p∧q为假命题 | |
| D． | 若ζ～B（4，0.25），则Dξ=1 |