Question

【题目】已知等比数列的公比，前n项和为.若，且是与的等差中项.

（1）求；

（2）数列满足，，求数列的前2019项和；

（3）设，问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.

（2）利用分组求和法求得数列的前项和.

（3）存在，且，使，，成等差数列，根据等差中项的性质列方程，化简后推出矛盾，由此判断出不存在符合条件的项.

（1）由，得①.

再由是，的等差中项，得，

即②.

由①②，得，

即，亦即，

解得或，又，故.

代入①，得，

所以，

即；

（2）

（3）设存在，且，使，，成等差数列，

∴

即

∴

∴（*）

因为且

∴、为偶数

为奇数，（*）式产生矛盾.所以这样的三项不存在.