题目内容
【题目】已知动圆过定点,且在
轴上截得线段
的长为 4,直线
交
轴于点
.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹
交于
两点,分别以
为切点作轨迹
的切线交于点
,若
.试判断实数
所满足的条件,并说明理由.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据垂径定理列出动圆圆心满足的条件,化简可得轨迹方程;(2)由, 得
,再利用导数几何意义得切线斜率,根据点斜式可得切线方程,解方程组可得P点坐标,联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理化简等量关系得
,解得
.
试题解析:(1)设动圆圆心的坐标为,半径
,
,
∵动圆过定点,且在
轴上截得线段
的长为4,
∴,消去
得
,
故所求轨迹的方程为
;
(2)实数是定值,且
,下面说明理由,
不妨设,
,由题知
,
由,消去
得
,
∴,轨迹
在
点处的切线方程为
,即
,
同理,轨迹在
处的切线方程为
,
联立:的方程解得交点坐标
,即
,
由,
得,即
,
,
,
∴,
即,
则,
则,故实数
是定值,且
.
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