题目内容
【题目】已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆C上一点,若过点的直线
与椭圆C相交于不同的两点S和T,
满足(O为坐标原点),求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式
:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论..
试题解析:(Ⅰ)由题意,以椭圆的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
,
∴圆心到直线的距离
(*)
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,
, 代入(*)式得
,∴
,
故所求椭圆方程为
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线
方程为
,设
,
将直线方程代入椭圆方程得:,
∴,∴
.
设,
,则
,
由,
当,直线
为
轴,
点在椭圆上适合题意;
当,得
∴
.
将上式代入椭圆方程得:,
整理得:,由
知,
,所以
,
综上可得.
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