Question

9．求过椭圆x²+4y²=16内一点A（1，1）的弦PO的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出P、Q、M的坐标，把P、Q坐标代入椭圆方程，利用点差法得到PQ所在直线斜率，由向量相等得弦PO的中点M的轨迹方程．

解答 解：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）．
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}^2+4{y_1}^2=16\\{x_1}^2+4{y_1}^2=16\end{array}\right.$，
两式作差得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
当x₁≠x₂时，有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}$，
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{y-1}{x-1}$，则$\frac{y-1}{x-1}=-\frac{x}{4y}$，
得x²+4y²-x-4y=0；
当x₁=x₂时，M（1，0）满足上式．
综上点M的轨迹方程是x²+4y²-x-4y=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了利用“点差法”求与弦中点有关的问题，是中档题．