Question

17．设函数f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e²]内恰有两个零点，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a值，利用导函数求出k值，得出切线方程；
（Ⅱ）求出导函数，对参数a分类讨论，得出函数的单调性和极值情况；
（Ⅲ）函数可转化为y=$\frac{1}{a}$与y=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在区间（1，e²]内恰有两个交点，构造函数g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，利用导函数g'（x）=$\frac{2x（1-lnx）}{{x}^{3}}$求出函数的值域即可得出a的范围，

解答 （Ⅰ）当a=1时，
f（x）=$\frac{x^2}{2}$-lnx，f'（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∵f'（1）=0，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴在点（1，f（1））处的切线方程y=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f'（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）递增，函数无极值；
当a＞0时，在（0，$\sqrt{a}$）时递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）时递增，函数的极小值为f（$\sqrt{a}$）=0；
（Ⅲ）f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx在区间（1，e²]内恰有两个零点，
∴y=$\frac{1}{a}$与y=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在区间（1，e²]内恰有两个交点，
令g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，g'（x）=$\frac{2x（1-lnx）}{{x}^{3}}$，
g（x）在（0，e）递增，在（e，e²）上递减，
∴g（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e²）=$\frac{4}{{e}^{4}}$，
∴$\frac{1}{a}$∈[$\frac{4}{{e}^{4}}$，$\frac{2}{{e}^{2}}$），
∴a∈（$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{4}}{4}$]．

点评 本题考查了导函数的概念和应用，难点是对问题的转化和分类讨论思想的应用．