Question

3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，-3），C（-2，1）．
（1）求BC边上的高所在的直线方程；
（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．

Answer 1

分析 （1）k_BC=-$\frac{4}{3}$，可得BC边上的高所在的直线的斜率为$\frac{3}{4}$．利用点斜式可得BC边上的高所在的直线方程．
（2）BC边所在的直线方程为：y+3=-$\frac{4}{3}$（x-1），化为：4x+3y+5=0．可得AC的中点D$（0，\frac{5}{2}）$．利用点D到直线BC的距离d．又|BC|，可得S_△DBC=$\frac{1}{2}|BC|•d$．

解答 解：（1）k_BC=$\frac{-3-1}{1+2}$=-$\frac{4}{3}$，∴BC边上的高所在的直线的斜率为$\frac{3}{4}$．
则BC边上的高所在的直线方程为：y-4=$\frac{3}{4}$（x-2），化为：3x-4y+10=0．
（2）BC边所在的直线方程为：y+3=-$\frac{4}{3}$（x-1），化为：4x+3y+5=0．
∵D是AC的中点，∴D$（0，\frac{5}{2}）$．
点D到直线BC的距离d=$\frac{|4×0+3×\frac{5}{2}+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$．
又|BC|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1+3）^{2}}$=5，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}|BC|•d$=$\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．