题目内容
3．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log2x）=6，则不等式f（a2+a）＞5的解集为（ ）| A． | {a|a＞1} | B． | {a|a＜-2或a＞1} | C． | {a|-2＜a＜1} | D． | {a|a＜-2} |
分析 由题意可得f（x）-log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，由不等式f（a2+a）＞5，得${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞1=${log}_{2}^{2}$，解出即可．
解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log2x为定值，
设t=f（x）-log2x，则f（x）=t+log2x，
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，
由不等式f（a2+a）＞5，
得：4+${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞5，
∴${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞1=${log}_{2}^{2}$，
∴a2+a＞2，解得：a＞1或a＜-2，
故选：B．
点评 本题考查求函数的表达式问题，考察转化思想，属中档题
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