Question

3．直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据sin²+cos²θ=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ．将参数方程和极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值．

解答 解：（1）参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$消去参数，得
$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即为ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程为x+y-4=0；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$
可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t²-16（3t²-3）=0，
解得t=±2，
显然t=-2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．