Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+a₂=15，a₄²=9a₁a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，数列{

1

bn

}的前n项和为S_n，若S_n＞

39

20

，试求n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的性质、通项公式化简条件，求出q、a₁的值，再求出a_n；（Ⅱ）根据对数的运算律化简b_n，再求出

1

bn

，利用裂项相消法求出数列{

1

bn

}的前n项和为S_n，代入不等式化简后求出n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₄²=9a₁a₅得，a₄²=9a₃²，即q²=9，
因为各项均为正数，所以解得q=3，
由2a₁+a₂=15得，2a₁+3a₁=15，解得a₁=3，
所以a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）因为a_n=3ⁿ，
所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
则

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
由

2n

n+1

＞

39

20

解得，n＞39，
所以n的最小值为40．

点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，对数的运算律，以及裂项相消法求出数列的前n项和，属于中档题．