Question

15．已知函数f（x）=x²-8lnx，若对?x₁，x₂∈（a，a+1）均满足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，则a的取值范围为0≤a≤1．

Answer 1

分析 由条件推出函数为减函数，先求出导函数，然后将函数f（x）是单调递减函数，转化成f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$≤0在（a，a+1）上恒成立，即可求出所求．

解答 解：∵对?x₁，x₂∈（a，a+1）均满足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，
∵f（x）=x²-8lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$
∵函数f（x）是单调递减函数，
∴f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$≤0在（a，a+1）上恒成立
∴（0，2]?（a，a+1）
∴0≤a≤1，
故答案为：0≤a≤1．

点评 本题主要考查函数单调性的应用和判断，根据函数导数和单调性之间的关系转化为函数恒成立即可得到结论．