Question

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中为的导函数.

证明：对任意.

Answer 1

解：（Ⅰ），依题意，为所求.

（Ⅱ）此时 ，记，，所以在，单减，又，

     所以，当时，，，单增；

           当   时，，，单减.

     所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，.

（Ⅲ），先研究，再研究.

     ① 记，，令，得，

        当，时，，单增；

        当，时，，单减 .

        所以，，即.

     ② 记，，所以在,单减，

所以，，即

         综①、②知，.